陈数Chern number的计算和推导

定义 γ12\gamma_{12}γ12​代表两个非正交态 ∣ψ1⟩,∣ψ2⟩|\psi_1\rang,|\psi_2\rang∣ψ1​⟩,∣ψ2​⟩之间的相位差：

γ12=−arg⟨ψ1∣ψ2⟩=arg⟨ψ2∣ψ1⟩\gamma_{12}=-arg\lang\psi_1|\psi_2\rang=arg\lang\psi_2|\psi_1\rang

γ12​=−arg⟨ψ1​∣ψ2​⟩=arg⟨ψ2​∣ψ1​⟩

很显然对于一个全局的规范变换：所有态矢量同时加上一个相同的相位α\alphaα不会影响前面定义的相对相位。也就是说相对相位是具有全局规范对称性的，但是很显然不满足局域规范对称：

∣ψj⟩→eiαj∣ψ⟩|\psi_j\rang\to e^{i\alpha_j}|\psi\rang

∣ψj​⟩→eiαj​∣ψ⟩

γ12=arg⟨ψj∣ψi⟩+i(αi−αj)\gamma_{12}=arg\lang\psi_j|\psi_i\rang+i(\alpha_i-\alpha_j)

γ12​=arg⟨ψj​∣ψi​⟩+i(αi​−αj​)

Berry相位

Berry相位的定义是在希尔伯特空间中取大于等于3个态，然后环绕一圈得到的相位差之和：

γL=−arg(⟨ψ1∣ψ2⟩...⟨ψN∣ψ1⟩)\gamma_L=-arg(\lang\psi_1|\psi_2\rang...\lang\psi_N|\psi_1\rang)

γL​=−arg(⟨ψ1​∣ψ2​⟩...⟨ψN​∣ψ1​⟩)

也可以写成投影算符的形式

γL=−argTr(∣ψ1⟩⟨ψ1∣ψ2⟩⟨ψ2∣...∣ψN⟩⟨ψN∣)\gamma_L=-argTr(|\psi_1\rang\lang\psi_1|\psi_2\rang\lang\psi_2|...|\psi_N\rang\lang\psi_N|)

γL​=−argTr(∣ψ1​⟩⟨ψ1​∣ψ2​⟩⟨ψ2​∣...∣ψN​⟩⟨ψN​∣)

Berry联络（Berry Connection）

Berry联络的意义是：态矢量在曲线上移动单位距离时，相位对应的变化。

考虑周期系统中的布洛赫波函数∣un(k)⟩∣u_n(k)⟩∣un​(k)⟩，其中n为能带指标，k为动量。Berry联络定义为：

An(k)=i⟨un(k)∣∇kun(k)⟩\mathbf{A}n(\mathbf{k}) = i\langle u_n(\mathbf{k})|\nabla{\mathbf{k}}u_n(\mathbf{k})\rangle

An(k)=i⟨un​(k)∣∇kun​(k)⟩

Berry联络描述能带在动量空间中的局部几何相位变化。

若波函数作规范变换∣un(k)⟩→eiθ(k)∣un(k)⟩|u_n(\mathbf{k})\rangle\rightarrow e^{i\theta(\mathbf{k})}|u_n(\mathbf{k})\rangle∣un​(k)⟩→eiθ(k)∣un​(k)⟩，则An→An−∇kθ(k)\mathbf{A}_n\rightarrow\mathbf{A}_n - \nabla_{\mathbf{k}}\theta(\mathbf{k})An​→An​−∇k​θ(k)Berry联络是不满足局域规范变换的。

很容易写出Berry相位：

γ=−arg⁡exp⁡[−i∮A⋅dR].\gamma=-\arg\exp\left[-i\oint \boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{R}\right].

γ=−argexp[−i∮A⋅dR].

Berry曲率（Berry Curvature）

Berry曲率为Berry联络的旋度

Bn(k)=∇k×An(k)\mathbf{B}_n(\mathbf{k})=\nabla_{\mathbf{k}}\times\mathbf{A}_n(\mathbf{k})

Bn​(k)=∇k​×An​(k)

在二维动量空间中，分量形式为：

Bxy(n)(k)=∂kxAy(n)−∂kyAx(n)B_{xy}^{(n)}(\mathbf{k})=\partial_{k_x}A_y^{(n)}-\partial_{k_y}A_x^{(n)}

Bxy(n)​(k)=∂kx​​Ay(n)​−∂ky​​Ax(n)​

Bxy(n)B_{xy}^{(n)}Bxy(n)​在规范变换下不变。曲率反映参数空间局部几何结构的“弯曲”。

Chern数

第n个能带的Chern数为Berry曲率在Brillouin区上的积分：

Cn=12π∫BZBxy(n)(k)dkxdkyC_n=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}B_{xy}^{(n)}(\mathbf{k})dk_xdk_y

Cn​=2π1​∫BZ​Bxy(n)​(k)dkx​dky​

CnC_nCn​为整数，与BZ的拓扑（如环面T2T^2T2）特性相关。类似于磁通量子化，BZ闭合性导致积分结果为的整数倍。

若BZ为无边界闭合流形，积分：

Cn=12π∫BZB=12π∮∂BZAC_n=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}B=\frac{1}{2\pi}\oint_{\partial\mathrm{BZ}} A

Cn​=2π1​∫BZ​B=2π1​∮∂BZ​A

但由于BZ无边界，积分结果必须为整数，验证了Chern数的量子化。

二能级体系

两个能级系统的哈密顿量：

H(d)=dxσx+dyσy+dzσz=d⋅σH(d)=d_x\sigma_x + d_y\sigma_y + d_z\sigma_z=\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{\sigma}

H(d)=dx​σx​+dy​σy​+dz​σz​=d⋅σ

其中d=(dx,dy,dz)d = (d_x, d_y, d_z)d=(dx​,dy​,dz​) 是三维空间中的一个向量。

由于泡利矩阵的反对易关系，这意味着哈密顿量H(d)的特征值的绝对值是|d|，也就是向量d的长度。

哈密顿量 H(d)H(d)H(d)可以在 Bloch 球面上表示，Bloch 球面上的每一点对应着 H(d)H(d)H(d)的一个方向，球面的两个角度 θ\thetaθ和 ϕ\phiϕ定义为：

cos⁡θ=dz∣d∣eiϕ=dx+idydx2+dy2\begin{aligned}

\cos\theta&=\frac{d_z}{|\boldsymbol{d}|}\\

e^{i\phi}&=\frac{d_x + id_y}{\sqrt{d_x^2 + d_y^2}}

\end{aligned}

cosθeiϕ​=∣d∣dz​​=dx2​+dy2​​dx​+idy​​​

考虑到哈密顿量的本征态∣+d⟩|+_d\rangle∣+d​⟩和∣−d⟩|-_d\rangle∣−d​⟩，它们分别满足：

H^(d)∣±d⟩=±∣d∣∣±d⟩.\hat{H}(\mathbf{d})|\pm_{\mathbf{d}}\rangle = \pm|\mathbf{d}||\pm_{\mathbf{d}}\rangle.

H^(d)∣±d​⟩=±∣d∣∣±d​⟩.

∣+d⟩=eiα(θ,φ)(e−iφ/2cos⁡θ/2eiφ/2sin⁡θ/2),|+_{\mathbf{d}}\rangle = e^{i\alpha(\theta,\varphi)}\begin{pmatrix}

e^{-i\varphi/2}\cos\theta/2\\

e^{i\varphi/2}\sin\theta/2

\end{pmatrix},

∣+d​⟩=eiα(θ,φ)(e−iφ/2cosθ/2eiφ/2sinθ/2​),

∣−d⟩=eiβ(d)∣+−d⟩|-_{\mathbf{d}}\rangle = e^{i\beta(\mathbf{d})}|+_{-\mathbf{d}}\rangle

∣−d​⟩=eiβ(d)∣+−d​⟩

首先，我们定义了Berry向量势 A(d)A(d)A(d) 为：

A(d)=i⟨−d∣∇d∣−d⟩.\mathbf{A}(\mathbf{d}) = i\langle -{\mathbf{d}}|\nabla{\mathbf{d}}|-_{\mathbf{d}}\rangle.

A(d)=i⟨−d∣∇d∣−d​⟩.

然后，Berry相位可以表示为沿着曲线积分Berry向量势的线积分：

γ−(C)=∮CA(d)dd,\gamma_-(\mathcal{C}) = \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{A}(\mathbf{d})d\mathbf{d},

γ−​(C)=∮C​A(d)dd,

根据Berry相位的定义，它可以通过计算Berry曲率来简化：

B(d)=∇d×A(d);γ−(C)=∫SB(d)dS,\begin{aligned}

\mathbf{B}(\mathbf{d})&=\nabla_{\mathbf{d}}\times\mathbf{A}(\mathbf{d});\\

\gamma_-(\mathcal{C})&=\int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}(\mathbf{d})d\mathcal{S},

\end{aligned}

B(d)γ−​(C)​=∇d​×A(d);=∫S​B(d)dS,​

对于一个通用的两能级哈密顿量H(d)H(d)H(d)，Berry曲率的公式是：

B±(d)=−Im⟨±∣∇dH^∣∓⟩×⟨∓∣∇dH^∣±⟩4d2\mathbf{B}^{\pm}(\mathbf{d})=-\mathrm{Im}\frac{\langle\pm|\nabla_{\mathbf{d}}\hat{H}|\mp\rangle\times\langle\mp|\nabla_{\mathbf{d}}\hat{H}|\pm\rangle}{4\mathbf{d}^2}

B±(d)=−Im4d2⟨±∣∇d​H^∣∓⟩×⟨∓∣∇d​H^∣±⟩​

已知 ∇dH^=σ，∣+d⟩=(10)，∣−d⟩=(01)\nabla_{\mathbf{d}}\hat{H}=\boldsymbol{\sigma}，|+_{\mathbf{d}}\rangle=\begin{pmatrix}

1\\

0

\end{pmatrix}，

|-_{\mathbf{d}}\rangle=\begin{pmatrix}

0\\

1

\end{pmatrix}∇d​H^=σ，∣+d​⟩=(10​)，∣−d​⟩=(01​)。然后计算矩阵元素：

⟨−∣σ^x∣+⟩=(0 1)(0110)(10)=1,\langle -| \hat{\sigma}_x | + \rangle = (0\ 1) \begin{pmatrix}

0 & 1 \\

1 & 0

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

1 \\

0

\end{pmatrix} = 1,

⟨−∣σ^x​∣+⟩=(0 1)(01​10​)(10​)=1,

⟨−∣σy∣+⟩=i;\langle -| \sigma_y | + \rangle = i;

⟨−∣σy​∣+⟩=i;

⟨−∣σz∣+⟩=0.\langle -| \sigma_z | + \rangle = 0.

⟨−∣σz​∣+⟩=0.

⟨−∣σ^∣+⟩×⟨+∣σ^∣−⟩=(1i0)×(1−i0)=(002i)\langle -| \hat{\boldsymbol{\sigma}} | + \rangle\times\langle +| \hat{\boldsymbol{\sigma}} | - \rangle = \begin{pmatrix}

1 \\

i \\

0

\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}

1 \\

- i \\

0

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

0 \\

0 \\

2i

\end{pmatrix}

⟨−∣σ^∣+⟩×⟨+∣σ^∣−⟩=⎝⎛​1i0​⎠⎞​×⎝⎛​1−i0​⎠⎞​=⎝⎛​002i​⎠⎞​

B±(d)=±d∣d∣12d2B^{\pm}(\mathbf{d}) = \pm\frac{\mathrm{d}}{\vert\mathbf{d}\vert}\frac{1}{2\mathrm{d}^2}

B±(d)=±∣d∣d​2d21​

定义法

先是计算贝里联络 (Berry connection)，然后再计算贝里曲率 (Berry curvature)，积分得到陈数 (Chern number)

cn=12πi∫T2d2kF12(k),Aμ(k)=⟨n(k)∣∂μ∣n(k)⟩,B12(k)=∂1A2(k)−∂2A1(k)\begin{aligned}

c_n&=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{T^2}\mathrm{d}^2k F_{12}(k),\\

A_{\mu}(k)&=\langle n(k)|\partial_{\mu}|n(k)\rangle,\\

B_{12}(k)&=\partial_1 A_2(k)-\partial_2 A_1(k)

\end{aligned}

cn​Aμ​(k)B12​(k)​=2πi1​∫T2​d2kF12​(k),=⟨n(k)∣∂μ​∣n(k)⟩,=∂1​A2​(k)−∂2​A1​(k)​

需要选定一个规范，使得局域的波函数连续。

从数值计算层面上，可通过编写代码检索近似规范，以确保波函数的连续性。但需注意的是，该方法会显著降低计算效率。

Wilson loop方法

陈数实际上是贝里曲率的积分

Bn(k)=∇k×An(k)\mathbf{B}_n(\mathbf{k})=\nabla_{\mathbf{k}}\times\mathbf{A}_n(\mathbf{k})

Bn​(k)=∇k​×An​(k)

作为

γ=∫SB d2k,\gamma = \int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\ d^2\mathbf{k},

γ=∫S​B d2k,

从数值上来说，计算积分更为方便 γ\gammaγ将它们分解成小块。这样

γ=∑n∫BlnB d2k=∑n∮BlnA dk\gamma = \sum_n\int_{\mathcal{Bl_n}}\mathbf{B}\ d^2\mathbf{k}=\sum_n\oint_{\mathcal{Bl_n}}\mathbf{A}\ d\mathbf{k}

γ=n∑​∫Bln​​B d2k=n∑​∮Bln​​A dk

被分解成块

γn=i∮C⟨u(k)∣∇∣u(k)⟩ dk\gamma_n = i\oint_{\mathcal{C}}\langle u(k)|\nabla|u(k)\rangle \ d\mathbf{k}

γn​=i∮C​⟨u(k)∣∇∣u(k)⟩ dk

对于足够小的块 γn\gamma_nγn​ 很小，可以计算指数

eiγn=e∮Blndk⋅⟨u(k)∣∇(∣u(k)))=∏peδkn,p⋅⟨u(kn,p)∣∇(∣u(kn,p)⟩)≈∏p(1+δkn,p⟨u(kn,p)∣∇(∣u(kn,p)⟩)≈∏p⟨u(kn,p)∣u(kn,p+1)⟩e^{i\gamma_n}=e^{\oint_{Bl_n}d\mathbf{k}\cdot\langle u(\mathbf{k})|\nabla(|\mathbf{u}(\mathbf{k})))}=\prod_pe^{\delta\mathbf{k}_{n,p}\cdot\langle u(\mathbf{k}_{n,p})|\nabla(|\mathbf{u}(\mathbf{k}_{n,p})\rangle)}\approx\prod_p(1+\delta k_{n,p}\langle u(\mathbf{k}_{\mathbf{n,p}})|\nabla(|\mathbf{u}(\mathbf{k}_{\mathbf{n,p}})\rangle)\approx\prod_{\mathrm{p}}\langle\mathbf{u(k_{n,p})|u(k_{n,p+1})}\rangle

eiγn​=e∮Bln​​dk⋅⟨u(k)∣∇(∣u(k)))=p∏​eδkn,p​⋅⟨u(kn,p​)∣∇(∣u(kn,p​)⟩)≈p∏​(1+δkn,p​⟨u(kn,p​)∣∇(∣u(kn,p​)⟩)≈p∏​⟨u(kn,p​)∣u(kn,p+1​)⟩

小板上的通量可以计算为

γn=Arg(∏p⟨u(kn,p)∣u(kn,p+1)⟩).\gamma_n=\mathrm{Arg}(\prod_p\langle u(\mathbf{k}_{n,p})|u(\mathbf{k}_{n,p+1})\rangle).

γn​=Arg(p∏​⟨u(kn,p​)∣u(kn,p+1​)⟩).

该方法的优点在于它是规范不变的，可以通过乘以每个波函数来检查 ∣u(kn,p)⟩→eiφ(kn,p)∣u(kn,p)⟩|u(\mathbf{k}_{n,p})\rangle\to e^{i\varphi(\mathbf{k}_{n,p})}|u(\mathbf{k}_{n,p})\rangle∣u(kn,p​)⟩→eiφ(kn,p​)∣u(kn,p​)⟩